NIM ZERO · 2026.08.01-v1
21取りの戦略：4の倍数を支配する
21取りでは最初に1個取り、20を残します。その後、相手が x 個取ったら 4−x 個取ります。2手の合計が常に4になり、山を4の倍数へ戻し続けて最後を取れます。
最初の1個
21 は4の倍数より1多いので、1個取って20を残します。相手は1、2、3個しか取れず、こちらの返し3、2、1個は必ず合法です。
不変量が勝ちを保証する理由
自分の手の後は 20、16、12、8、4、0 になります。これは1手を1〜3個に制限した減算ゲームで、複数山から任意に取るニムではありません。4への補数が正しい証明です。
局面の例
| 手番 | 取る数 | 残り |
|---|---|---|
| 最初 | 1 | 21 → 20 |
| 相手 | x (1–3) | 20 − x |
| 自分の返し | 4 − x | 16 |
| 自分の到達点 | 20 → 16 → 12 → 8 → 4 → 0 | |
方法と出典
方法：Nim Zero の純粋なルールエンジンで有限局面の合法手を全列挙しています。数学的出典：C. L. Bouton, “Nim, A Game with a Complete Mathematical Theory,” Annals of Mathematics, Second Series 3, no. 1/4 (1901–1902), 35–39。
DOI: 10.2307/1967631 · 2026-08-01